#\int \cos(5\cdot y)^8\cdot \sin(5\cdot y) \,\dd y=# #-{{\cos(5\cdot y)^9}\over{45}} + C#

---

We passen de substitutiemethode toe met #g(y)=-{{y^8}\over{5}}# en #h(y)=\cos(5\cdot y)#, want dan geldt #g(h(y)) \cdot h'(y)=\cos(5\cdot y)^8\cdot \sin(5\cdot y)#. Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(5\cdot y)^8\cdot \sin(5\cdot y) \,\dd y&=& \displaystyle \int -{{\cos(5\cdot y)^8}\over{5}} \cdot -5\cdot \sin(5\cdot y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 2: herschreven in de vorm }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \text{ met } h'(y)=-5\cdot \sin(5\cdot y)} \\ &=& \displaystyle \int -{{\cos(5\cdot y)^8}\over{5}} \, \dd(\cos(5\cdot y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 3: herschreven met het gebruik van }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^8}\over{5}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 4: gesubstitueerd }\cos(5\cdot y)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^9}\over{45}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 5: geprimitvieerd}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(5\cdot y)^9}\over{45}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 6: gesubstitueerd }u=\cos(5\cdot y)}
\end{array}\]