Snijpunten van een kwadratische formule met een lineaire formule

Kwadratische formules en vergelijkingen: Snijpunten van kwadratische formules

Snijpunten van een kwadratische formule met een lineaire formule

Een kwadratische formule #y=a_1x^2+b_1x+c_1# en een lineaire formule #y=a_2x+b_2# kunnen geen, één of twee snijpunten hebben. We gaan nu kijken hoe we deze snijpunten vinden.

Snijpunten kwadratische en lineaire formule

	Stappenplan	geogebra plaatje
	We bepalen het snijpunt van de kwadratische formule #y=a_1x^2+b_1x+c_1# en de lineaire formule #y=a_2x+b_2#.
Stap 1	We bepalen eerst de #x#-coördinaat van het snijpunt door de vergelijking \[a_1x^2+b_1x+c_1=a_2x+b_2\] op te lossen door middel van ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen of de abc-formule.
Stap 2	We bepalen de #y#-coördinaat van het snijpunt door het substitueren van de gevonden #x#-coördinaat in één van beide formules. Meestal is het minder rekenwerk om te substitueren in de lineaire formule.

Aantal snijpunten en grafiekWe zullen nu bekijken hoe we herkennen hoeveel snijpunten een kwadratische formule en een lineaire formule hebben. In stap 1 kunnen we met behulp van de abc-formule berekenen hoeveel snijpunten er zijn. Daarnaast is het in de grafiek te zien.

Formules #y=x^2+2x+2# #y=3x-5#	Formules #y=x^2+2x+2# #y=3x+\tfrac{7}{4}#	Formules #y=x^2+2x+2# #y=3x+4#
Bijbehorende vergelijking #x^2+2x+2=3x-5#	Bijbehorende vergelijking #x^2+2x+2=3x+\tfrac{7}{4}#	Bijbehorende vergelijking #x^2+2x+2=3x+4#
Herleid op #0# #x^2\green{-}x+\purple{7}=0#	Herleid op #0# #x^2\green{-}x+\purple{\tfrac{1}{4}}=0#	Herleid op #0# #x^2\green{-}x\purple{-2}=0#
Discriminant #\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{7}\\&=&\orange{-27}\lt 0\end{array}#	Discriminant #\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{\frac{1}{4}}\\&=&\orange{0}\end{array}#	Discriminant #\begin{array}{rcl}\orange D&=&\left(\green{-1}\right)^2-4 \cdot \blue1 \cdot \purple{-2}\\&=&\orange{9}\gt 0\end{array}#

Geen snijpunten.	Één snijpunt (raakpunt): #\rv{\frac{1}{2}, \frac{13}{4}}#.	Twee snijpunten: #\rv{-1,1}# en #\rv{2,10}#.

Bepaal de snijpunten van de grafieken van \[y = -x^2-2\cdot x+8\phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx} y = x+10\]

Geef je antwoord in de vorm

#geen# #\phantom{xxxwwxx}# als er geen snijpunt is,
#\left\{\rv{a,b}\right\}\phantom{xxxww}# als er één snijpunt is en
#\left\{\rv{a,b},\rv{c,d}\right\}\phantom{x}# als er twee snijpunten zijn,

waarbij #a#, #b#, #c#, #d# exacte getallen zijn.

#\left \{\rv{ -2 , 8 } , \rv{ -1 , 9 } \right \} #

Stap 1

De #x#-coördinaat van een punt dat op beide grafiek ligt moet voldoen aan:
\[-x^2-2\cdot x+8 = x+10\tiny.\]
We lossen deze vergelijking, na herleiding, op door te ontbinden.
\[\begin{array}{rcl}
-x^2-2\cdot x+8 &=& x+10\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
-x^2-3\cdot x-2 &=& 0\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{alle ter‍m‍en naar links gebracht}}\\
x^2+3\cdot x+2 &=& 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{links en rechts vermenigvuldigd met -1 }}\\
\left(x+1\right)\cdot \left(x+2\right) &=&0 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ontbonden in factoren}}\\
x+1 = 0 &\lor& x+2=0 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{A\cdot B=0 \text{ dan en slechts dan als }A=0\lor B=0}\\
x=-1 &\lor& x=-2 \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{constante ter‍m naar rechts gebracht }}\\
\end{array}\]

Stap 2

Nu kunnen we de bijbehorende #y#-waarden berekenen door deze #x#-waarden in één van beide formules in te vullen. In dit geval is het het handigst de lineaire formule te kiezen. Eerst berekenen we de #y#-waarde behorende bij #x=-2#.
\[\begin{array}{rcl}
y&= & -2+10 = 8
\end{array}\]
Vervolgens berekenen we de #y#-waarde behorende bij #x=-1#.
\[\begin{array}{rcl}
y&=& -1+10 = 9
\end{array}\]

De conclusie is dat de #2# snijpunten gegeven worden door: \[ \left \{\rv{ -2 , 8 } , \rv{ -1 , 9 } \right \}\tiny. \]

In de figuur hieronder zien we in blauw doorgetrokken de grafiek van #y=-x^2-2\cdot x+8# en in groen gestreept de grafiek van #y=x+10#. De snijpunten van deze twee grafieken zijn rood gekleurd.

Nieuw voorbeeld