2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Afstand
Middelpunt en hoogtepunt van een driehoek
- De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt. Dit punt heet het middelpunt van de driehoek.
- De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt. Dit punt heet het hoogtepunt van de driehoek.
Middelpunt: het snijpunt van de middelloodlijnen van #AB# en #BC# heet gelijke afstand tot #A# als tot #B# en gelijke afstand van #B# als tot #C#, dus ook gelijje afstand van #A# als tot #C#. Dit betekent dat het snijpunt ook op de middelloodlijn van #AC# ligt.
Omdat de afstand van het snijpunt #Z# van de drie middelloodlijnen tot elk hoekpunt van de driehoek gelijk is, liggen de hoekpunten van de driehoek op een cirkel met middelpunt #Z#. Daarom noemen we #Z# het middelpunt van de driehoek.
Zwaartepunt: Als #A=\rv{0,0}#, #B = \rv{c,0}# en #C = \rv{c_1,c_2}#, dan heeft het snijpunt #H# van de hoogtelijn door #C# met de hoogtelijn door #A# coördinaten #\rv{c_1,\frac{c_1c-c_1^2}{c_2}}#. Maar de lijn door #BH# heeft richtingsvector #\rv{c_1-c,\frac{c_1c-c_1^2}{c_2}}#, en de lijn door #AC# heeft richtingsvector #\rv{c_1,c_2}#. Hieruit volgt met behulp van de Bepaling van de loodrechte vector dat de lijn door #BH# loodrecht staat op de lijn door #AC#. Dit betekent dat het punt #H# ook op de hoogtelijn door #B# ligt.
Er is ook een ingeschreven cirkel: een cirkel die geheel binnen de driehoek ligt en elk van de zijden van de driehoek raakt. Dit komt later aan bod.
- voor #AB#: # \quad \rv{35,0} + \lambda\cdot \rv{0,1}#
- voor #AC#: # \quad \rv{25,10} + \mu \cdot \rv{20,-50}#
- voor #BC#: # \quad \rv{60,10} + \nu \cdot \rv{20,20}#
Toelichting:
De richtingsvector van de middelloodlijn van #AB# staat loodrecht op #B-A=\rv{70,0}#. Vanwege Bepaling van de loodrechte vector is deze richtingsvector # \rv{0,1} #. Verder gaat de middelloodlijn door het midden van #AB#, dat is #\rv{35,0}#. Daarom heeft deze middelloodlijn parametervoorstelling #\rv{35,0}+\lambda \cdot \rv{0,1}#.
De richtingsvector van de middelloodlijn van #AC# staat loodrecht op #C-A=\rv{50,20}#. Vanwege Bepaling van de loodrechte vector is deze richtingsvector # \rv{20,-50} #. Verder gaat de middelloodlijn door het midden van #AC#, dat is #\rv{25,10}#. Daarom heeft deze middelloodlijn parametervoorstelling #\rv{25,10}+\mu\cdot \rv{20,-50}#.
De richtingsvector van de middelloodlijn van #BC# staat loodrecht op #B-C=\rv{20,-20}#. Vanwege Bepaling van de loodrechte vector is deze richtingsvector # \rv{20,20} #. Verder gaat de middelloodlijn door het midden van #BC#, dat is #\rv{60,10}#. Daarom heeft deze middelloodlijn parametervoorstelling #\rv{60,10}+\nu\cdot \rv{20,20}#.
Het middelpunt van #ABC# is het punt # \rv{35,-15} #: dit punt ligt op elk van de drie middelloodlijnen, zoals te zien is door #\lambda =-15 #, #\mu= {{1}\over{2}}# en #\nu=-{{5}\over{4}}# in te vullen in bovenstaande parametervoorstellingen voor de middelloodlijnen van achtereenvolgens #AB#, #AC# en #BC#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
