#\int \cos(x)\cdot \sin(x)^5 \,\dd x=# #{{\sin(x)^6}\over{6}} + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(x)=x^5# et #h(x)=\sin(x)#, car alors #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(x)\cdot \sin(x)^5#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(x)\cdot \sin(x)^5 \,\dd x&=& \displaystyle \int \sin(x)^5 \cdot \cos(x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \text{ avec } h'(x)=\cos(x)} \\ &=& \displaystyle \int \sin(x)^5 \, \dd(\sin(x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int u^5 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\sin(x)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^6}\over{6}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\sin(x)^6}\over{6}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\sin(x)}
\end{array}\]