Différence de deux carrés

Algèbre: Produits remarquables

Différence de deux carrés

Nous pouvons factoriser une différence de deux carrés avec la formule suivante:

\[\blue a^2-\green b^2=(\blue a+\green b) (\blue a-\green b)\]

\[\begin{array}{rcl} x^2-16&=& \blue{x}^2-\green{4}^2 \\ &=& (\blue{x}+\green{4}) (\blue{x}-\green{4})
\end{array}\]

Nous pouvons également appliquer cette formule dans l'ordre inverse pour développer des parenthèses:

\[(\blue a+\green b) (\blue a-\green b) = \blue a^2-\green b^2\]

\[\begin{array}{rcl} (\blue{x}+\green{5}) (\blue{x}-\green{5}) &=& \blue{x}^2-\green{5}^2 \\ &=& x^2-25 \\
\end{array}\]

Cette formule peut être en déduite de la distributivité double: \[\begin{array}{rclcl}(\blue a+\green b)(\blue a-\green b)&=&\blue a^2-\blue a\green b +\green b\blue a -\green b^2&\phantom{x}&\blue{\text{distributivité double }}\\ &=&\blue a^2-\blue a \green b+\blue a \green b-\green b^2 &&\blue{\text{règle } ab=ba}\\ &=&\blue a^2-\green b^2&&\blue{\text{addition des termes semblables }}\end{array}\]

Pas pour la somme de deux carrés

Constatez que cette formule n'est pas valable pour la somme de deux carrés:

\[(a+b)^2 \;\red\ne \; a^2 +b^2\]

Par la formule du carré d'une somme, nous avons:

\[(a+b)^2 = a^2 + 2 a b+b^2\]

Par conséquent, n'oubliez pas le terme # 2 ab #.

Factorisez \({16}{a}^2-1\).

#(4a+1)(4a-1)#

#\begin{array}{rclcl}{16}{a}^2-1&=&(4a)^2-1^2&&\blue{\text{détermination des carrés}}\\&=&(4a+1)(4a-1)&&\blue{\text{factorisation}}\end {array}#

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