#\int \cos(4\cdot y)^4\cdot \sin(4\cdot y) \,\dd y=# #-{{\cos(4\cdot y)^5}\over{20}} + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(y)=-{{y^4}\over{4}}# et #h(y)=\cos(4\cdot y)#, car alors #g(h(y)) \cdot h'(y)=\cos(4\cdot y)^4\cdot \sin(4\cdot y)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(4\cdot y)^4\cdot \sin(4\cdot y) \,\dd y&=& \displaystyle \int -{{\cos(4\cdot y)^4}\over{4}} \cdot -4\cdot \sin(4\cdot y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \text{ avec } h'(y)=-4\cdot \sin(4\cdot y)} \\ &=& \displaystyle \int -{{\cos(4\cdot y)^4}\over{4}} \, \dd(\cos(4\cdot y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^4}\over{4}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(4\cdot y)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^5}\over{20}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(4\cdot y)^5}\over{20}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(4\cdot y)}
\end{array}\]