Tekenen van kwadratische formules

Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische formules tekenen

Tekenen van kwadratische formules

We hebben gezien dat een grafiek van een kwadratische formule een parabool is. Ook hebben we gezien hoe we de snijpunten met de assen, de top en andere punten bij gekozen waarden van #x# van de parabool kunnen berekenen. Zo kunnen we snel de grafiek van een kwadratische formule tekenen.

Stappenplan tekenen kwadratische formule

	Stappenplan	geogebra plaatje
	We gaan een grafiek van een kwadratische formule tekenen.
Stap 1	Bepaal het snijpunt met de #y#-as.
Stap 2	Bepaal de top.
Stap 3	Bepaal de snijpunten met de #x#-as, indien ze er zijn.
Stap 4	Substitueer waarden voor #x# in de formule zodanig dat we minstens 4 punten hebben om te tekenen.
Stap 5	Teken de punten in een assenstelsel en verbindt ze met een vloeiende kromme.

SymmetrieBij het uitvoeren van stap 4 kan het aantal punten dat uitgerekend moet worden beperkt worden door de symmetrie te gebruiken. Een grafiek van een kwadratische formule is symmetrisch in de verticale lijn door de top.

Teken de grafiek bij de volgende formule:
\[y=-x^2-3\cdot x+1\]

De formule is al geschreven in de vorm #a \cdot x^2+b \cdot x +c# met #a =-1#, #b=-3# en #c=1#. Aangezien #a<0# is de grafiek een bergparabool.

Stap 1	Het snijpunt met de #y#-as is gelijk aan de waarde van de constante in de kwadratische formule, dus gelijk aan #1#. De coördinaten van het snijpunt met de #y#-as zijn dus #\rv{0,1}#.
Stap 2	De #x#-waarde van de top wordt gegegeven door #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# en is dus gelijk aan: \[\begin{array}{rclrl} x&=& -\dfrac{-3}{2 \cdot -1} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{formule ingevuld}}\\ &=& -{{3}\over{2}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}\] De #y#-waarde van de top wordt berekend door de #x=-{{3}\over{2}}# in te vullen in de formule. Dat geeft: \[\begin{array}{rclrl} y&=& -\left(-{{3}\over{2}}\right)^2 -3 \cdot -{{3}\over{2}} +1 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{formule ingevuld}}\\ &=& {{13}\over{4}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{uitgerekend}}\\ \end{array}\] De coördinaten van de top zijn dus: #\rv{-{{3}\over{2}},{{13}\over{4}}}#. Om de waarden in de grafiek te tekenen, moeten we ze afronden. Dat geeft: #\rv{-1.5,3.2}#.
Stap 3	De snijpunten met de #x#-as zijn de punten waarvoor geldt #y=0#. \[\begin{array}{rcl} -x^2-3\cdot x+1 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ x=\dfrac{-{-3}-\sqrt{\left(-3\right)^2-4 \cdot -1 \cdot 1}}{2 \cdot -1} &\vee& x=\dfrac{-{-3}+\sqrt{\left(-3\right)^2-4 \cdot -1 \cdot 1}}{2 \cdot -1} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{abc-form‍ule ingevuld}}\\ x={{-\sqrt{13}-3}\over{2}} &\vee& x={{\sqrt{13}-3}\over{2}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{uitgerekend}}\\ \end{array}\] De coördinaten van de snijpunten met de #x#-as zijn dus: #\rv{{{-\sqrt{13}-3}\over{2}},0}# en #\rv{{{\sqrt{13}-3}\over{2}},0}#. Om de waarden in de grafiek te tekenen, moeten we ze afronden. Dat geeft: #\rv{-3.3,0}# en #\rv{0.3,0}#.
Stap 4	We hebben al vier punten om te tekenen.
Stap 5	We tekenen de vier punten in het assenstelsel en verbinden ze door een vloeiende kromme. Zie de figuur bovenaan.

De formule is al geschreven in de vorm #a \cdot x^2+b \cdot x +c# met #a =-1#, #b=-3# en #c=1#. Aangezien #a<0# is de grafiek een bergparabool.

De gevraagde punten zijn in de figuur verbonden door een vloeiende kromme: de dalparabool gegeven door de formule.

Nieuw voorbeeld