Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-2#, #b=2# y #c=4#. Se observa como #a<0# la gráfica es una parábola que abre hacia abajo.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #4#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,4}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{2}{2 \cdot -2} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{1}\over{2}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x={{1}\over{2}}# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& -2 \cdot {{1}\over{2}}^2 +2 \cdot {{1}\over{2}} +4
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{9}\over{2}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{{{1}\over{2}},{{9}\over{2}}}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeados a 1 decimal). Eso da: #\rv{0.5,4.5}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
-2\cdot x^2+2\cdot x+4 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{2}-\sqrt{2^2-4 \cdot -2 \cdot 4}}{2 \cdot -2} &\vee& x=\dfrac{-{2}+\sqrt{2^2-4 \cdot -2 \cdot 4}}{2 \cdot -2} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x=2 &\vee& x=-1 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{2,0}# y #\rv{-1,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,4}#, #\rv{{{1}\over{2}},{{9}\over{2}}}#, #\rv{2,0}# y #\rv{-1,0}#.