Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =1#, #b=2# y #c=-6#. Se observa como #a>0# la gráfica es una parábola que abre hacia arriba.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #-6#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,-6}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{2}{2 \cdot 1} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& -1 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x=-1# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& \left(-1\right)^2 +2 \cdot -1 -6
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& -7 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{-1,-7}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
x^2+2\cdot x-6 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{2}-\sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot -6}}{2 \cdot 1} &\vee& x=\dfrac{-{2}+\sqrt{2^2-4 \cdot 1 \cdot -6}}{2 \cdot 1} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x=-\sqrt{7}-1 &\vee& x=\sqrt{7}-1 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{-\sqrt{7}-1,0}# y #\rv{\sqrt{7}-1,0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-3.6,0}# en #\rv{1.6,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,-6}#, #\rv{-1,-7}#, #\rv{-\sqrt{7}-1,0}# y #\rv{\sqrt{7}-1,0}#.