#\int -\cos(4\cdot x)^3\cdot \sin(4\cdot x) \,\dd x=# #{{\cos(4\cdot x)^4}\over{16}} + C#

---

Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(x)={{x^3}\over{4}}# et #h(x)=\cos(4\cdot x)#, car alors #g(h(x)) \cdot h'(x)=-\cos(4\cdot x)^3\cdot \sin(4\cdot x)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(4\cdot x)^3\cdot \sin(4\cdot x) \,\dd x&=& \displaystyle \int {{\cos(4\cdot x)^3}\over{4}} \cdot -4\cdot \sin(4\cdot x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \text{ avec } h'(x)=-4\cdot \sin(4\cdot x)} \\ &=& \displaystyle \int {{\cos(4\cdot x)^3}\over{4}} \, \dd(\cos(4\cdot x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^3}\over{4}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(4\cdot x)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^4}\over{16}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(4\cdot x)^4}\over{16}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(4\cdot x)}
\end{array}\]