#\int -\cos(8\cdot t)^9\cdot \sin(8\cdot t) \,\dd t=# #{{\cos(8\cdot t)^{10}}\over{80}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(t)={{t^9}\over{8}}# y #h(t)=\cos(8\cdot t)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=-\cos(8\cdot t)^9\cdot \sin(8\cdot t)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(8\cdot t)^9\cdot \sin(8\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int {{\cos(8\cdot t)^9}\over{8}} \cdot -8\cdot \sin(8\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=-8\cdot \sin(8\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int \left({{\cos(8\cdot t)^9}\over{8}} \right) \, \dd(\cos(8\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^9}\over{8}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(8\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^{10}}\over{80}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(8\cdot t)^{10}}\over{80}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(8\cdot t)}
\end{array}\]