La fonction exponentielle

Fonctions exponentielles et logarithmes: Fonctions exponentielles

La fonction exponentielle

Nous appelons une fonction de la forme \[f(x)=\blue{a}^x\] avec #\blue{a}>0# une fonction exponentielle.

Le graphe admet l'axe des #x# comme asymptote. Pour toute valeur de #x#, #\blue{a}^x# n'est jamais égale à #0.#

Selon la valeur de #\blue{a}#, la fonction est croissante ou décroissante. Si #\blue{a}>1#, la fonction est croissante. Si #0<\blue{a}<1#, la fonction est décroissante.

Nous notons que le domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres et l'ensemble image est l'ensemble des nombres strictement positifs.

GeoGebra plaatje

Échiquier
Pour des nombres plus grands à #1#, la fonction exponentielle est une fonction qui augmente rapidement. Il y a une légende qui l'illustre bien: Aux alentours de l'an 500, le jeu d'échec a été inventé en Inde. Le roi a voulu remercier l'inventeur du jeu en promettant à l'homme une récompense de son propre choix.

L'inventeur a eu l'idée suivante: pour la première case il voulait #1# grain de riz, pour la deuxième case il demandait #2# grains de riz, pour la troisième case il demandait #4# grains de riz, etcetera. Le roi était presque insulté, parce qu'il pensait que l'homme a demandé une trop petite récompense.

Cependant, lorsque les membres de la cour du roi ont calculé le nombre de grains de riz que l'homme va recevoir, le roi a constaté que la récompense était en effet assez grande! La quantité totale de grains de riz est

\[2^0+2^1+2^2+\ldots+2^{62}+2^{63}=18446744073709551615,\]

qui est plus importante que la production mondiale de riz.

a = 1
Une exception aux propriétés de la fonction exponentielle décrites ci-dessus est le cas où #\blue{a}=1#. Cette fonction n'est ni croissante, ni décroissante. L'ensemble image n'est pas non plus l'ensemble de tous les nombres strictement positifs, mais seulement #y=1#.

Règles
Lors des calculs avec des fonctions exponentielles, nous utilisons souvent les règles vues pour les calculs avec des puissances à exposants entiers. Ainsi, révisez-les. Par exemple: \[\blue{2}^\orange{x}\cdot\blue{2}^\purple{x+4}=\blue{2}^{\orange{x}+\purple{x+4}}=\blue{2}^{2x+4}.\]

Indiquez laquelle des fonctions suivantes est une fonction exponentielle.

#f(x)=4^x#

#f(x)=\left(\frac{1}{4}\right)^x#

#f(x)=\sqrt{x}#

#f(x)=x^4#