Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =1#, #b=4# y #c=-6#. Se observa como #a>0# la gráfica es una parábola que abre hacia arriba.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #-6#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,-6}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{4}{2 \cdot 1} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& -2 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x=-2# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& \left(-2\right)^2 +4 \cdot -2 -6
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& -10 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{-2,-10}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
x^2+4\cdot x-6 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{4}-\sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot -6}}{2 \cdot 1} &\vee& x=\dfrac{-{4}+\sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot -6}}{2 \cdot 1} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x=-\sqrt{10}-2 &\vee& x=\sqrt{10}-2 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{-\sqrt{10}-2,0}# y #\rv{\sqrt{10}-2,0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-5.2,0}# en #\rv{1.2,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,-6}#, #\rv{-2,-10}#, #\rv{-\sqrt{10}-2,0}# y #\rv{\sqrt{10}-2,0}#.