Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =5#, #b=-2# y #c=-1#. Se observa como #a>0# la gráfica es una parábola que abre hacia arriba.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #-1#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,-1}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{-2}{2 \cdot 5} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{1}\over{5}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x={{1}\over{5}}# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& 5 \cdot {{1}\over{5}}^2 -2 \cdot {{1}\over{5}} -1
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& -{{6}\over{5}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{{{1}\over{5}},-{{6}\over{5}}}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeados a 1 decimal). Eso da: #\rv{0.2,-1.2}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
5\cdot x^2-2\cdot x-1 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{-2}-\sqrt{\left(-2\right)^2-4 \cdot 5 \cdot -1}}{2 \cdot 5} &\vee& x=\dfrac{-{-2}+\sqrt{\left(-2\right)^2-4 \cdot 5 \cdot -1}}{2 \cdot 5} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x={{1-\sqrt{6}}\over{5}} &\vee& x={{\sqrt{6}+1}\over{5}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{{{1-\sqrt{6}}\over{5}},0}# y #\rv{{{\sqrt{6}+1}\over{5}},0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-0.3,0}# en #\rv{0.7,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,-1}#, #\rv{{{1}\over{5}},-{{6}\over{5}}}#, #\rv{{{1-\sqrt{6}}\over{5}},0}# y #\rv{{{\sqrt{6}+1}\over{5}},0}#.