Vaak wordt gedacht dat getallen de basis van de wiskunde vormen. Maar wiskunde gaat over redeneren en logica leidt ons in dat proces. Wiskundig redeneren betreft het doen van uitspraken en het bepalen of deze bewijsbaar zijn in een bepaalde context. We bespreken de klassieke benadering waarin gewerkt wordt met proposities, die bekend staat als de propositielogica.
Een propositie is een uitspraak waaraan we op objectieve wijze ofwel de waarde waar ofwel de waarde onwaar kunnen toekennen.
Daarbij verwijzen we vaak impliciet naar een context waarin we de propositie evalueren.
Voorbeelden
- #\blue{ \text{Het regent.}}#
- #\blue{ \textrm{Jan houdt van snoep.}}#
- #\blue{5 \text{ is een priemgetal.}}#
Hier zijn enkele voorbeelden van uitspraken die wiskundig gezien geen proposities zijn.
- #\blue{ \text{Rood is een mooie kleur.} }#
- #\blue{ \text{Clowns zijn griezelig.} }#
- # \blue{ \text{Weet je de weg naar de supermarkt?} }#
- # \blue{ \text{Kom naar huis!} }#
Meningen, vragen en bevelen zijn nooit proposities. Een uitspraak die een mening bevat maar geen mening is, kan overigens wel een propositie zijn. Bijvoorbeeld: "#\blue{ \textit{Joost vindt}\text{ clowns griezelig.} }#" is een geldige propositie.
De volgende uitspraken zijn voorbeelden van proposities die altijd waar zijn.
- #\blue{ \text{Parijs is de hoofdstad van Frankrijk.} }#
- #\blue{ \text{Rood is een kleur.} }#
- #\blue{ \text{Blauwe bloemen bestaan.} }#
De volgende uitspraken zijn voorbeelden van proposities die altijd onwaar zijn.
- #\blue{ \text{Appels groeien onder de grond.} } #
- # \blue{ \text{De lucht is altijd groen.} } #
- # \blue{ \text{Water smaakt gekruid.} } #
Door te beweren dat we de waarde waar of onwaar aan een propositie kunnen toekennen, zijn we nogal optimistisch. Zo weten we op dit moment niet welke van de twee waarden we moeten toekennen aan de proposities
- #\blue{ \text{ Er bestaat leven op een planeet anders dan de Aarde. }}#
- #\blue{ \text{ Er bestaan parallelle universums. }}#
- #\blue{ \text{ Het cijfer }9\text{ komt negen keer achter elkaar voor in de decimale ontwikkeling van }\pi \text{.}}# (wel is bekend dat het cijfer #9# acht keer achter elkaar voorkomt, bijvoorbeeld vanaf positie #66,780,105#)
Toch gaat de klassieke logica ervan uit dat elke propositie
waar of
onwaar is, en er geen derde mogelijkheid bestaat (zoals
gedeeltelijk waar,
ongedefinieerd of
onbekend) die tussen deze twee extremen in ligt. Dit principe heet de
wet van de uitgesloten derde of
de wet van het uitgesloten midden.
Sommige proposities zijn afhankelijk van de context. Een propositie als "#\blue{\text{Het regent.}}#" kan waar of onwaar zijn, afhankelijk van tijd en plaats, en de hoeveelheid water die per minuut naar beneden valt. Zodra we echter de tijd en plaats kennen en een meetcriterium vastleggen, is er geen discussie over de vraag of het regent. Voorbeelden van zulke proposities zijn
- #\blue{ \text{Jeanine draagt een broek.}}#
- # \blue{ \text{Peter houdt van lezen.}}#
- # \blue{ \text{Het is zonnig.}}#
Proposities die meningen uiten waarin het woord "ik" voorkomt, kunnen dubbelzinnig zijn. Is "ik" de schrijver, de lezer, of een andere persoon? Afhankelijk van de betekenis van "ik", is een uitspraak met "ik" al dan niet een propositie. Als "ik" de schrijver zelf is, dan is de uitspraak "Ik houd van appels" een propositie, omdat we objectief kunnen vaststellen of de schrijver van appels houdt. Als "ik" de lezer is, dan kunnen we dit niet meer objectief vaststellen omdat de lezer steeds verschilt. In deze cursus beschouwen we meningen met "ik" als proposities. We zullen proberen om dit niet te gebruiken in gevallen waarin het verwarrend is.
Om het makkelijk te houden, zullen we het in de rest van dit hoofdstuk niet meer over context hebben.
Het is misschien niet meteen duidelijk waarom we #\blue{ \text{"Rood is een mooie kleur."}}# geen propositie noemen. We zouden een precieze wiskundige betekenis kunnen geven aan "een mooie kleur" en vervolgens nagaan of deze definitie al dan niet van toepassing is op "rood". Het begrip propositie is daarom vrij informeel in deze cursus. In de wiskunde kunnen we echter heel precies zijn indien dat nodig is, en een systeem van axioma's en deductieregels opstellen dat ons in staat stelt om precies te bepalen wat een propositie is en wat het betekent om diens waarheid (of onwaarheid) vast te stellen. Een dergelijke aanpak is erg formeel en hoort daarom thuis in een vervolgcursus logica. Voorlopig stellen we onszelf tevreden met het verkrijgen van ervaring.
Tot nu toe lijkt het alsof alle proposities eenvoudige zinnen zijn. In het algemeen is dit niet waar. Er zijn ook proposities die veel ingewikkelder zijn. In Negatie, conjunctie en disjunctie zullen we een aantal manieren bespreken om nieuwe proposities te vormen uit eenvoudige proposities. In de meeste gevallen zijn deze nieuwe proposities ingewikkelder.
Welke van de onderstaande uitspraken zijn proposities?
\[\begin{array}{l} \bullet\quad\text{De soldaat neemt afscheid van zijn geliefde.} \\\bullet\quad\text{Ik zie vaak de tijd 11:11 of 12:34 op klokken.}\\\bullet\quad\text{Wiskunde is makkelijk.}\\\bullet\quad\text{Ik mag dan moeite hebben met aardrijkskunde, maar ik weet zeker dat ik hier ergens ben.}\\ \end{array}\]
De volgende drie zinnen zijn proposities.
- Ik zie vaak de tijd 11:11 of 12:34 op klokken.
- De soldaat neemt afscheid van zijn geliefde.
- Ik mag dan moeite hebben met aardrijkskunde, maar ik weet zeker dat ik hier ergens ben.
"Wiskunde is makkelijk." is geen propositie.
De uitspraak "Wiskunde is makkelijk." uit een opinie en is dus geen propositie. De waarheid of onwaarheid van de overige uitspraken kan wel objectief worden vastgesteld.
Propositie en waarheid
