#\int -\cos(3\cdot y)^3\cdot \sin(3\cdot y) \,\dd y=# #{{\cos(3\cdot y)^4}\over{12}} + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(y)={{y^3}\over{3}}# et #h(y)=\cos(3\cdot y)#, car alors #g(h(y)) \cdot h'(y)=-\cos(3\cdot y)^3\cdot \sin(3\cdot y)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(3\cdot y)^3\cdot \sin(3\cdot y) \,\dd y&=& \displaystyle \int {{\cos(3\cdot y)^3}\over{3}} \cdot -3\cdot \sin(3\cdot y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \text{ avec } h'(y)=-3\cdot \sin(3\cdot y)} \\ &=& \displaystyle \int {{\cos(3\cdot y)^3}\over{3}} \, \dd(\cos(3\cdot y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^3}\over{3}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(3\cdot y)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^4}\over{12}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(3\cdot y)^4}\over{12}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(3\cdot y)}
\end{array}\]