Ecuaciones cuadráticas: Dibujando parábolas
Dibujar parábolas
Hemos visto que la gráfica de una cuadrática es una parábola. También hemos visto cómo los puntos de intersección con los ejes, el vértice y otros puntos con valores particulares de #x# de la parábola se pueden calcular. A partir de estos valores calculados podemos dibujar fácilmente la gráfica de una cuadrática.
Procedimiento para dibujar una parábola
| Procedimiento | geogebra plaatje | |
| Dibujaremos la gráfica de una cuadrática. | ||
| Paso 1 | Determina el punto de intersección con el eje #y#. | |
| Paso 2 | Determina el vértice. | |
| Paso 3 | Determina los puntos de intersección con el eje #x#, si los hay. | |
| Paso 4 | Sustituye los valores de #x# en la fórmula de tal manera que tengamos al menos 4 puntos que podamos dibujar. | |
| Paso 5 | Dibuja estos puntos en el sistema de coordenadas y conéctalos mediante una parábola fluida. |
Observa la gráfica que pertenece a la siguiente fórmula:
\[y=-{{x^2}\over{2}}-x+9\]
Dibuja la intersección con el eje #y#, el vértice y las intersecciones con el eje #x#.
\[y=-{{x^2}\over{2}}-x+9\]
Dibuja la intersección con el eje #y#, el vértice y las intersecciones con el eje #x#.
Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-{{1}\over{2}}#, #b=-1# y #c=9#. Se observa como #a<0# la gráfica es una parábola que abre hacia abajo.
La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #9#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,9}#.
El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{-1}{2 \cdot -{{1}\over{2}}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& -1 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x=-1# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& -{{1}\over{2}} \cdot \left(-1\right)^2 +1 +9
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& {{19}\over{2}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{-1,{{19}\over{2}}}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeados a 1 decimal). Eso da: #\rv{-1,9.5}#.
Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
-{{x^2}\over{2}}-x+9 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{-1}-\sqrt{\left(-1\right)^2-4 \cdot -{{1}\over{2}} \cdot 9}}{2 \cdot -{{1}\over{2}}} &\vee& x=\dfrac{-{-1}+\sqrt{\left(-1\right)^2-4 \cdot -{{1}\over{2}} \cdot 9}}{2 \cdot -{{1}\over{2}}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x=-\sqrt{19}-1 &\vee& x=\sqrt{19}-1 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{-\sqrt{19}-1,0}# y #\rv{\sqrt{19}-1,0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-5.4,0}# en #\rv{3.4,0}#.
Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,9}#, #\rv{-1,{{19}\over{2}}}#, #\rv{-\sqrt{19}-1,0}# y #\rv{\sqrt{19}-1,0}#.
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-{{1}\over{2}}#, #b=-1#, y #c=9#. Como #a<0#, se observa que la gráfica es una parábola que abre hacia abajo .
Los puntos solicitados están conectados por una curva fluida en la figura: la parábola que abre hacia arriba está dada por la fórmula.
Los puntos solicitados están conectados por una curva fluida en la figura: la parábola que abre hacia arriba está dada por la fórmula.
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